大学物理 · 刚体动力学#

核心公式体系#

一、刚体定轴转动的运动学#

物理量	定义式	物理含义
角位置	$\theta(t)$	刚体上任一点相对转轴的角坐标
角速度	$\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$	角位置对时间的变化率，描述转动的快慢与方向
角加速度	$\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2}$	角速度对时间的变化率
线速度	$v = r\omega$	距转轴 $r$ 处质点的线速度（切向）
切向加速度	$a_t = r\alpha$	由角加速度引起的线加速度
法向加速度	$a_n = r\omega^2 = \dfrac{v^2}{r}$	指向转轴的向心加速度

匀变速转动公式（类比质点匀变速直线运动）： $\begin{cases} \omega = \omega_0 + \alpha t \\[6pt] \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2 \\[6pt] \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta - \theta_0) \end{cases}$

二、刚体定轴转动的动力学#

公式	名称	各符号含义
$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$	力矩定义	$\vec{r}$ ：力的作用点相对转轴的位矢； $\vec{F}$ ：外力； $\vec{M}$ ：对转轴的力矩
$M = rF\sin\theta = Fd$	力矩大小	$d = r\sin\theta$ ：力臂（转轴到力作用线的垂直距离）
$M = J\alpha$	转动定律	$J$ ：转动惯量； $\alpha$ ：角加速度。类比牛顿第二定律 $F=ma$
$J = \sum m_i r_i^2$ 或 $J = \displaystyle\int r^2\,dm$	转动惯量定义	$r_i$ ：第 $i$ 个质元到转轴的垂直距离。反映刚体转动惯性的大小
$J = J_c + md^2$	平行轴定理	$J_c$ ：刚体绕通过质心 $c$ 且平行于转轴的转动惯量； $d$ ：两轴间距

常见匀质刚体的转动惯量（必须熟记）：

刚体形状	转轴位置	转动惯量 $J$
细杆（质量 $m$ ，长 $l$ ）	过中心垂直于杆	$\dfrac{1}{12}ml^2$
细杆	过端点垂直于杆	$\dfrac{1}{3}ml^2$
圆环/圆柱壳（半径 $R$ ）	过中心垂直于环面	$mR^2$
圆盘/圆柱（半径 $R$ ）	过中心垂直于盘面	$\dfrac{1}{2}mR^2$
实心球（半径 $R$ ）	过球心	$\dfrac{2}{5}mR^2$

三、角动量#

公式	名称	说明
$L = J\omega$	刚体定轴转动的角动量	$L$ ：对转轴的角动量，单位 $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$
$M = \dfrac{dL}{dt}$	角动量定理（微分形式）	合外力矩等于角动量对时间的变化率
$\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} M\,dt = L_2 - L_1$	角动量定理（积分形式）	冲量矩等于角动量的增量
$M = 0 \Rightarrow L = \text{常量}$	角动量守恒定律	当合外力矩为零时，角动量守恒。若 $J$ 可变，则 $J_1\omega_1 = J_2\omega_2$

四、转动动能与动能定理#

公式	名称	说明
$E_k = \dfrac{1}{2}J\omega^2$	转动动能	刚体因转动而具有的能量
$W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta$	力矩的功	合外力矩对刚体做的功
$W = \dfrac{1}{2}J\omega_2^2 - \dfrac{1}{2}J\omega_1^2$	转动动能定理	合外力矩做的功等于转动动能的增量
$E = \dfrac{1}{2}mv_c^2 + \dfrac{1}{2}J_c\omega^2 + mgh_c$	刚体平面运动的机械能	质心平动动能 + 绕质心转动动能 + 重力势能

应用举例#

例题一：滑轮-重物系统（转动定律基础）#

题目：一质量为 $m$ 、半径为 $R$ 的匀质圆盘（可视为滑轮）绕水平固定轴转动，轻绳绕在轮缘上，下端挂一质量为 $M$ 的物体。物体从静止开始下落，求物体的加速度 $a$ 和绳中张力 $T$ 。不计轴处摩擦。

解析：

设物体下落加速度为 $a$ （向下），滑轮角加速度为 $\alpha$ （顺时针），绳中张力为 $T$ 。

对物体 $M$ 列平动方程（取向下为正）： $Mg - T = Ma \quad \text{（牛顿第二定律，重力向下，张力向上，合力产生向下加速度）}$

对滑轮列转动方程（取顺时针为正）： $TR = J\alpha \quad \text{（张力对转轴产生力矩，重力 $mg$ 过转轴无力矩）}$

运动学约束条件（绳不打滑）： $a = R\alpha \quad \text{（轮缘一点的切向加速度等于物体下落的线加速度）}$

联立求解：

由 $a = R\alpha$ 得 $\alpha = \dfrac{a}{R}$ ，代入转动方程： $TR = J \cdot \frac{a}{R} \Rightarrow T = \frac{Ja}{R^2}$

匀质圆盘 $J = \dfrac{1}{2}mR^2$ ，故： $T = \frac{\frac{1}{2}mR^2 \cdot a}{R^2} = \frac{1}{2}ma$

将 $T$ 代入平动方程： $Mg - \frac{1}{2}ma = Ma \Rightarrow Mg = \left(M + \frac{m}{2}\right)a$

解得： $\boxed{a = \frac{2M}{2M + m}g}$

代回求张力： $T = \frac{1}{2}m \cdot \frac{2M}{2M + m}g = \boxed{\frac{Mm}{2M + m}g}$

例题二：细杆下摆（机械能守恒）#

题目：一质量为 $m$ 、长为 $l$ 的匀质细杆，可绕其一端 $O$ 在竖直平面内自由转动。将杆从水平位置静止释放，求杆摆到竖直位置时：

杆的角速度 $\omega$ ；
杆端点 $A$ 的速度 $v_A$ 。

解析：

分析受力与守恒条件：杆受重力和轴处约束力。轴处约束力对 $O$ 点力矩为零，重力对 $O$ 点力矩不为零，但只有重力做功，故机械能守恒。

确定势能零点与初末态：

取 $O$ 点所在水平面为重力势能零点（方便计算）。

初态（水平）： $\omega_0 = 0$ ， $E_{k0} = 0$

质心 $C$ 在杆中点，距 $O$ 点 $\dfrac{l}{2}$ ，竖直坐标 $y_C = -\dfrac{l}{2}$ （在零点下方）： $E_{p0} = mg \cdot \left(-\frac{l}{2}\right) = -\frac{1}{2}mgl$
末态（竖直）：角速度 $\omega$ ， $E_k = \dfrac{1}{2}J\omega^2$

质心 $C$ 在 $O$ 点正下方， $y_C = -\dfrac{l}{2}$ ，等等——不对，重新分析。

重新设定：取杆在竖直位置时质心所在平面为势能零点更简便。或者直接用 $\Delta h$ 。

更简洁的方法：直接计算重力势能变化。

杆从水平到竖直，质心下降高度 $\Delta h = \dfrac{l}{2}$ 。

由机械能守恒： $mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{2}J\omega^2 - 0$

（重力势能减少量 = 转动动能增加量）

代入转动惯量：

细杆绕端点 $J = \dfrac{1}{3}ml^2$ ： $mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega^2$

求解角速度： $\frac{mgl}{2} = \frac{ml^2\omega^2}{6}$

$\omega^2 = \frac{3g}{l} \Rightarrow \boxed{\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}}$

求端点速度： $v_A = l\omega = l\sqrt{\frac{3g}{l}} = \boxed{\sqrt{3gl}}$

例题三：角动量守恒（人走圆台）#

题目：一水平圆台可绕通过中心的光滑竖直轴转动。圆台质量为 $M$ 、半径为 $R$ ，对转轴的转动惯量 $J = \dfrac{1}{2}MR^2$ 。一质量为 $m$ 的人站在圆台边缘，初始时人与圆台均静止。若人沿圆台边缘以相对地面的速率 $v$ 匀速行走，求圆台的角速度 $\omega$ 。

解析：

系统分析：人 + 圆台系统。转轴光滑，无外力矩；重力与轴平行，对转轴力矩为零。故系统对竖直轴的角动量守恒。

初态：系统静止， $L_0 = 0$ 。

末态：人沿边缘行走，设人相对地面速度为 $v$ （沿切向），圆台以 $\omega$ 反向转动。

人的角动量： $L_{\text{人}} = mR^2 \cdot \dfrac{v}{R} = mRv$ （人相当于质点，转动惯量 $mR^2$ ，角速度 $\dfrac{v}{R}$ ）

或者更直接： $L_{\text{人}} = R \cdot mv = mRv$ （角动量大小 = 位矢 × 动量）
圆台的角动量： $L_{\text{台}} = J\omega = \dfrac{1}{2}MR^2\omega$

角动量守恒方程： $L_0 = L_{\text{人}} + L_{\text{台}} = 0$

（注意方向：人向前走，圆台向后转，两者角动量方向相反）

设人行走方向为正： $mRv - \frac{1}{2}MR^2\omega = 0$

（圆台角动量方向与人相反，取负号）

求解： $\boxed{\omega = \frac{2mv}{MR}}$

方向：与人行走方向相反。

例题四：综合题（滚动物体）#

题目：一质量为 $m$ 、半径为 $R$ 的匀质圆柱体，从倾角为 $\theta$ 的斜面上由静止开始无滑动地滚下。求质心加速度 $a_c$ 。

解析：

运动分析：圆柱做平面运动 = 质心平动 + 绕质心转动。

受力分析：

重力 $mg$ （竖直向下）
支持力 $N$ （垂直斜面向上）
静摩擦力 $f$ （沿斜面向上，提供转动所需的力矩）

列方程：

质心平动（沿斜面向下为正）： $mg\sin\theta - f = ma_c \quad \text{（牛顿第二定律，沿斜面方向合力产生质心加速度）}$

绕质心转动（顺时针为正）： $fR = J_c\alpha \quad \text{（摩擦力对质心产生力矩，是转动的唯一动力）}$

无滑动条件（运动学约束）： $a_c = R\alpha \quad \text{（接触点瞬时静止，质心加速度与角加速度满足此关系）}$

联立求解：

由 $a_c = R\alpha$ 得 $\alpha = \dfrac{a_c}{R}$ ，代入转动方程： $fR = J_c \cdot \frac{a_c}{R} \Rightarrow f = \frac{J_c a_c}{R^2}$

匀质圆柱 $J_c = \dfrac{1}{2}mR^2$ ： $f = \frac{\frac{1}{2}mR^2 \cdot a_c}{R^2} = \frac{1}{2}ma_c$

代入平动方程： $mg\sin\theta - \frac{1}{2}ma_c = ma_c$

$mg\sin\theta = \frac{3}{2}ma_c$

$\boxed{a_c = \frac{2}{3}g\sin\theta}$

知识网络图#

1
质点动力学 ──┬──► 刚体定轴转动
2
             │        │
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             │        ├── 运动学：θ, ω, α, v=rω
4
             │        ├── 动力学：M = Jα（转动定律）
5
             │        ├── 角动量：L = Jω, M = dL/dt
6
             │        └── 能量：Ek = ½Jω², W = ∫M dθ
7
             │
8
             └──► 刚体平面运动 = 质心平动 + 绕质心转动
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                      ├── 质心运动定理：F = ma_c
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                      ├── 绕质心转动：M_c = J_cα
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                      └── 机械能守恒：E = ½mv_c² + ½J_cω² + mgh_c

复习要点速查#

高频考点	考查形式	关键公式
转动定律应用	滑轮-重物、杆-小球连接系统	$M = J\alpha$ ，注意 $a = R\alpha$ 约束
角动量守恒	人走圆台、子弹击入杆、碰撞	$J_1\omega_1 = J_2\omega_2$ （ $M_{\text{外}} = 0$ ）
机械能守恒	杆/圆盘下摆、滚动物体	$\Delta E_p = \Delta E_k$ ，注意势能参考点
转动惯量计算	填空/选择	常见刚体 $J$ 值 + 平行轴定理
线量与角量关系	综合题中作为桥梁	$v = r\omega$ , $a_t = r\alpha$ , $a_n = r\omega^2$

必须熟练记忆的公式：

$M = J\alpha$
$L = J\omega$
$E_k = \dfrac{1}{2}J\omega^2$
细杆 $J_c = \dfrac{1}{12}ml^2$ ，圆盘 $J_c = \dfrac{1}{2}mR^2$
平行轴定理 $J = J_c + md^2$

压轴题常见组合：转动定律 + 角动量守恒 + 机械能守恒，多过程问题（如碰撞后摆动、带摩擦的滚动等）。

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